Bilangan Fibonacci

 

Bilangan Fibbonacci

1.        Sejarah Fibonacci

Penemu bilangan Fibonacci adalah Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano (1175-1250). Beliau adalah seorang matematikawan Italia, yang juga dikenal sebagai Fibonacci yang juga memiliki peran dalam mengenalkan sistem penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dunia Eropa.

Leonardo adalah orang yang memperkenalkan deret. Setelah meninggal, ia sering disebut sebagai Fibonacci (dari kata filius Bonacci, anak dari Bonacci). Ayahnya bernama William atau dikenal sebagai Bonacci. Untuk itu Leonardo memiliki julukan Fibonacci yang berasal dari kata Filius Bonacci yang artinya anak dari Bonacci.

William memimpin sebuah pos perdagangan dan beberapa catatan menyebutkan bahwa beliau adalah perwakilan dagang untuk Pisa di Bugia, Afrika Utara (sekarang bernama Bejaia, Aljazair). Sebagai anak muda, Fibonacci berkelana ke sana untuk menolong ayahnya, dan di sanalah beliau belajar tentang sistem bilangan Arab.

Fibonacci banyak menulis buku, salah satu yang terkenal dan menjadi tonggak awal penggunaan angka Arab adalah “Liber Abaci”. Pada bab 12 buku tersebut, terdapat sebuah permasalahan yang mampu mengusik akal sehat matematikawan, yaitu tentang masalah kelinci beranak-pinak. Pertanyaan sederhana tetapi diperlukan kejelian dalam berpikir. Inilah masalah yang terdapat dalam buku tersebut

“a certain man put a pair of rabbits in a place surrounded by a wall. How many pairs of rabbits can be produced from that pair in a year if it is supposed that every month each pair begets a new pair which from the second month on becomes productive ?”

 

2.        Materi Inti

Barisan Fibonacci adalah barisan yang dapat di definisikan secara rekursif seperti berikut

Sehingga diperoleh barisan Fibonacci seperti berikut ini

F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	…
1	1	2	3	5	8	13	21	…

 

Kemudian bentuk kuadrat dari barisan tersebut akan berlaku

 

3.        Pembuktian Fibonacci

Akan Dibuktikan

Bukti :

Untuk membuktikan sifat ini kita akan menggunakan Induksi Matematika.

Basis Induksi :

Ø  Untuk n = 1

 

Ø  Untuk n = k, diasumsikan benar

4.        Penerapan Fibonacci dalam Kehidupan Sehari-hari

·         Pola Bunga pada Bunga Matahari

Ternyata pola bunga juga menunjukkan adanya pola bilangan Fibonacci, contoh pada bunga matahari. Jika diperhatikan dari titik tengah menuju ke lingkaran yang lebih luar, maka polanya akan mengikuti deret Bilangan Fibonacci.

 

·         Jumlah Daun pada Daun Bungan Petals

Apabila kita perhatikan bungan petals, ternyata jumlah daun pada bunga tersebut hampir sama dengan deret Fibonacci. contoh:

Perhatikanlah:

o    Jumlah daun bunga 3 yaitu bunga lili, iris

o    Jumlah daun bunga 5 yaitu buttercup (sejenis bunga mangkok)

o    Jumlah daun bunga 13 yaitu ragwort, corn marigold, cineraria

o    Jumlah daun bunga 21 yaitu aster, black-eyed susan, chicoryJumlah daun bunga 34 : plantain, pyrethrumJumlah

o    daun bunga 55,89 yaitu michaelmas daisies, the asteraceae family

 

·         Tubuh Manusia

Niai rasio emas ternyata juga dapat ditemukan bahkan di dalam tubuh kita sendiri. yaitu perbandingan jarak antar setiap anggota tubuh kita mendekati nilai rasio emas.

Read More

Tujuan Pembelajaran Matematika : Apa yang di ber"DAYA"kan?

Ketika berbicara matematika mungkin yang selalu terbayang dibanyak orang adalah angka dan objek abstrak yang tidak ada hubungannya dengan dunia nyata, angka yang ada hanyalah sebagai simbol yang kemudian dapat diintepretasikan berbeda-beda dalam penggunaannya, bagi pedagang angka  mungkin akan berarti harga dan jumlah permintaan, bagi peneliti angka mungkin diartikan sebagai bentuk perubahan dari sebelum dan sesudah, bagi petani mungkin angka di artikan sebagai hasil kebun, dengan begitu pada satu objek matematika dapat diartikan dengan berbagai macam makna tergantung dengan konteksnya. Lantas apakah tujuan  dari belajar matematika sesungguhnya? dan apa yang perlu di berdayakan dalam belajar matematika?.

Oleh karena itu akan dibahas mengenai hal tersebut, dimana sumber utama dalam penulisan ini adalah Buku dengan judul “Three dimensions: A model of goal and theory description in mathematics instruction—The Wiskobas Project” yang di tulis oleh Adrian Treffers (1986).

·        Aspek Aritmatika

Pembelajaran matematika harus berfungsi untuk memajukan wawasan siswa dalam memahami sistem aritmatika dan membekali dia dengan keterampilan untuk memecahkan masalah aritmatika.

Untuk itu yang perlu di kuasai siswa yaitu:

a.            Pengetahuan tentang segala macam aspek kuantitatif seperti yang dinyatakan dalam penghitungan, pengukuran, dan penghitungan;

b.            Keterampilan dalam penggunaan konsep dan operasi aritmatika dalam situasi kehidupan nyata;

c.             Wawasan tentang sistem bilangan yang relevan dan operasi dalam sistem ini;

d.            Penguasaan terhadap algoritma operasi matematika.

·        Aspek Bahasa

Matematika adalah sarana untuk menggambarkan aspek-aspek dunia sekitarnya. Sehingga pembelajaran matematika harus diarahkan untuk membekali siswa dengan perintah yang memadai dari bahasa matematika sebagai alat komunikasi. Hal ini yang perlu di kuasai siswa adalah :

a.  Memiliki kosakata istilah dan simbol matematika yang memadai atas perintahnya;

b.          Memiliki wawasan dan pemahaman tentang sistem matematika sebagai sistem sintaksis;

c.  Memperbaiki penggunaan aktif bahasa matematika dalam mendiskusikan, merumuskan solusi, menggunakan bahasa saat mengajukan pertanyaan;

d.        Mampu membaca dan menafsirkan deskripsi matematika dalam bentuk verbal, skematis dan simbolik.

·        Aplikatif

Pembelajaran matematika harus mengarah pada pengetahuan yang berlaku: misalnya, Koneksi antara situasi masalah di dalam atau di luar konteks matematika dengan konsep matematika. Dengan demikian yang perlu di belajarkan ke siswa adalah :

a.     Belajar mendesain ulang dan merestrukturisasi masalah yang terletak di luar area matematika menjadi masalah matematika;

b.  Penggunaan alat bantu matematika, seperti model berpikir atau metode pengorganisasian untuk mendapatkan solusi dari masalah;

c.     Belajar bekerja dengan model matematika sehingga siswa mempelajari kekuatan dan keterbatasan matematika;

d.   Belajar bereaksi secara memadai terhadap segala macam situasi di mana pendekatan matematika berlaku.

·        Penggunaan praktis

Pembelajaran matematika harus diarahkan untuk memberi siswa pemahaman tentang semua jenis aplikasi praktis matematika secara umum dan wawasan tentang nilainya dalam bidang pengetahuan tertentu pada khususnya. Sehingga yang perlu di belajarkan adalah :

a.      Mempelajari aplikasi matematika dalam fisika, biologi, teknologi dan sosiologi, serta dalam penggunaan sehari-hari;

b.    Belajar memahami pengaruh matematika dalam kehidupan manusia sebagai konsumen, sebagai pengguna jasa dan sebagai produsen;

c.         Belajar memahami peran matematika pada saat ini, misalnya dalam peramalan peristiwa;

d.          Belajar untuk memahami dan menggunakan alat yang berorientasi matematis.

·        Aspek struktural

Pembelajaran matematika harus diarahkan pada pembelajaran untuk menemukan koneksi yang relevan, keteraturan pola dan makna khas struktur dalam matematika. Hal itu mencakup :

a.          Penemuan keteraturan dalam pola dalam kaitannya dengan angka, bentuk, dan satuan;

b.        Penemuan sifat umum dari objek matematika, operasi, hubungan dan struktur dalam topik yang relevan;

c.           Mendeteksi dan merumuskan aturan dan hukum dalam matematika;

d.          Mampu memberikan contoh nyata ketika diberi aturan tertentu.

·        Aspek Metodologi

Pembelajaran matematika harus diarahkan pada pembelajaran dengan metode eksplorasi dan penalaran strategi, di mana elemen berpikir intuisi, analogi, induktif dan deduktif dapat digunakan. Sehingga yang perlu dilakukan adalah :

a.     Penerapan pendekatan empiris yang ditandai dengan eksperimen, observasi, pembentukan dan pengujian hipotesis, yang mungkin diikuti oleh penalaran deduktif;

b.   Belajar menggunakan bukti pengalaman sebagai rantai untuk memisalkan sesuatu hal yang mengarah ke kesimpulan "benar": di mana kebenaran berasal dari sesuatu yang sebelumnya yang sudah diterima.

c.      Belajar untuk menjadi sadar akan pentingnya penalaran analogis, pentingnya memperkirakan, gagasan hipotesis, induksi dan deduksi;

d.          Mempelajari strategi solusi tertentu.

·        Aspek dinamis

Matematika selalu bergerak dan berkembang. Pembelajaran matematika harus diarahkan untuk membuat siswa sadar akan keterbukaan dan dinamika matematika, baik dalam arti obyektif maupun subyektif. Hal itu mencakup :

a.          Beberapa pengetahuan tentang pengembangan sistem notasi untuk angka;

b.    Beberapa pengetahuan tentang pengembangan keterampilan aritmatika: berbagai algoritma untuk operasi dasar, aturan, komputer dan kalkulator;

c.         Beberapa pengetahuan tentang pengembangan simbol dan konsep matematika tertentu;

d.       Perspektif pada proses mental seseorang: retrospeksi dalam istilah yang lebih pendek dan lebih lama, yang mengarah ke pemahaman yang semakin meningkat dari bidang matematika.

·        Aspek Attitude

Pembelajaran matematika harus bertujuan melengkapi siswa dengan pengetahuan, keterampilan, kemampuan dan sikap, yang dengan hal itu tujuan sebelumnya dari aspek aritmatika, aspek bahasa, penerapan, kegunaan praktis, aspek struktural, aspek metodologi dan aspek dinamika, bisa diwujudkan. Sehingga aspek ini dapat di artikan ;

a.    Kesempatan untuk membuat kesalahan melalui pengalaman "Biarkan saya mencoba"

b.          Kesempatan untuk menghargai metode matematika;

c.          Pengalaman dengan teka-teki, masalah dan investigasi;

d.     Kesempatan untuk bekerja di bidang matematika yang terstruktur dan kaya akan pengalaman matematika, di mana ada ruang untuk inisiatif, penemuan dan keberanian.

Read More